REVISÃO de produtos notáveis e fatoração

Produtos Notáveis

Vamos relembrar aqui (Assista ao vídeo), identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.(contribuição: Novo telecurso)

1 – Quadrado da soma e da diferença
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a – b)² = a² – 2ab + b²
Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que:

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) ou escrevendo de uma forma conveniente:

2 – Diferença de quadrados: (a + b).(a – b) = a² – b²

3 – Cubo de uma soma e de uma  diferença:

(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³
 
Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo:      (a – b)³ = a³ – 3.a².b + 3.a.b² – b³

Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue:
(a + b)³ = a³ + 3.a.b(a+b) + b³   Ou:     
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
Esta forma de apresentação, é bastante útil.

1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?

SOLUÇÃO:
Temos: a + b = 10 e a³ + b³ = 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
10³ = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab

Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.

Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!

Vamos relembrar agora, a fatoração de expressões algébricas, assistindo a vídeo-aula. (contribuição: Prof. Edir Reis)